Central
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Estadísticos de promedio: Tendencia central
Eduardo López Dpto. MIDE. UCM
Introducción
El recurso a promedios de tendencia central, magnitud o tamaño de un grupo es habitual en la investigación y en la vida diaria, dado que es frecuente la necesidad de poner de relieve ciertas características particularmente importantes de un grupo de datos, tomados como un todo. En general, un promedio es un valor central que suele estar próximo al punto de mayor concentración de las medidas y parece que de alguna manera tipifica el conjunto completo. Es decir, un solo número describe la localización general de un conjunto de valores. La función, pues, que cumplen los promedios llamados de tendencia central es la de servir de pauta o punto de referencia para las unidades que conforman el grupo, pues una puntuación individual es en sí ininterpretable, sin significado. Dicho de otro modo, un promedio de tendencia
tendencia central sirven, pues, de norma para las unidades que componen el grupo. Solamente haciendo que la puntuación individual se refiera al grupo es cuando comienza a cobrar significado. Cuál de ellas sea la más adecuada para cumplir tal función dependerá de cómo sean los datos, de cómo de representativo sea el promedio, es decir, de que cumpla su función. Promedios llamados de tendencia central son la media aritmética, la mediana, la moda, la media geométrica y la media armónica. Solamente se hablará de las tres primeras por ser las de mayor uso en Estadística en educación. La media geométrica es la media de una serie exponencial y la media armónica es la inversa de la media de las inversas de las puntuaciones.
central viene a decirnos cuál es el valor de la unidad más representativa del grupo, de tal modo que ésta es la que podría denominarse y ser considerada el prototipo del grupo. Las medidas de
1. Media aritmética.
Un profesor -son datos reales- aplica a un grupo de 88 alumnos universitarios una prueba de 34 preguntas de prueba objetiva para ver su grado de conocimiento de la Estadística. Los resultados fueron los siguientes (hubo 4 alumnos que puntuaron 0 por anulárseles la prueba a efectos de cálculo) (página siguiente). 0, 0, 0, 0, 1, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 28, 29, 29, 32
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Son, por tanto, puntuaciones (Xij) de 88 alumnos (N) del grupo j (Nj). Si se quiere representar la puntuación promedio desde el punto de vista aritmético no resta otra cosa sino sumar tales puntuaciones y promediarlas; de este modo se obtiene la media aritmética.
Media aritmética = Σ Xij / Nj. En nuestro caso: (0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 11 + ... + 26 + 28 + 29 +
29 + 32) / 88 = 18.53.
De la contemplación de este valor se pueden hacer los siguientes comentarios y extraer algunas conclusiones: 1) No necesariamente la media aritmética coincide con valores reales o empíricos de la distribución, más bien lo ordinario es que no coincida. Esto significa que es un valor teórico de una distribución, que cumple algunas condiciones. 2) La suma de las diferencias de cada puntuación directa a la media aritmética es igual a cero (0): Σ (Xij - media) = 0. Esta condición es de enorme importancia, porque muchas de las fórmulas de estadísticos, creadas para expresar el promedio de las puntuaciones diferenciales respecto de la media, tienden a resolver este problema de la nula diferencia, recurriendo a expresar las puntuaciones diferenciales ya en valor absoluto o recurriendo a la segunda potencia. 3) Otra forma práctica de interpretar la media, pero que aquí no lo es porque no hay ningún alumno que haya sacado la puntuación 18.534, es afirmar que aquel alumno que obtuviera en el grupo tal puntuación sería el alumno que mejor representaría al grupo; es decir, sería el alumno representativo del grupo. En el fondo la media aritmética, como cualquier otro promedio, no es sino eso, el mejor exponente de los sujetos del grupo, convirtiéndose en norma del grupo. 4) Finalmente, aunque se podrían seguir extrayendo muchas otras conclusiones, parece conveniente destacar que la media aritmética será más representativa del grupo cuanto más normal sea la distribución. Más adelante se incluirán en este tema otras distribuciones de las cuales la media no es el mejor exponente de representación. Pero sigamos. Aunque ya se dijo en el tema dedicado a la tabulación de datos, es preciso repetir aquí que los datos anteriores precisan de un modo más resumido de tratamiento y, sobre todo, de cálculo. Por ello, en la tabla adjunta se incluye una columna (1) de datos de puntuaciones directas (Xij), que son las puntuaciones que estaban incluídas en la cuadrícula anterior y que se repetían cuantas veces habían sido obtenidas por los respectivos alumnos. Para no tener que repetir tales puntuaciones dando lugar a una columna de puntuaciones directas de 88 filas, lo que se ha hecho ha sido incluir en la columna primnera las posibles puntuaciones, que los alumnos pueden obtener de la aplicación de la prueba objetiva, y adjuntar en una siguiente columna (2) el número de sujetos que han obtenido cada una de las posibles 34 puntuaciones (más 1, si se quiere añadir el 0). Es muy probable que la puntuación o item 17 haya sido anulado, lo que explicaría que no tiene alumnos, que lo hayan respondido; de lo contrario, sería una situación un tanto extraña.
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(1) Número de pregunta:
(2) Frecuencia
(3)
fij Xij
(4) Porcentaje: Pij
Xij
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
fij
4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 2 5 5 7 10 6 7 9 7 3 3 7 3 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 36 26 70 75 112 180 114 140 189 154 69 72 175 78 0 28 58 0 0 32 0 0
(5) Frecuencia acumulada:
(6) Porcentaja acumulado: Paij 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 8 11 14 19 25 33 44 51 59 69 77 81 84 92 95 95 97 99 99 99 99 99 99
(7) Representación gráfica de examinados
faij
4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 7 10 12 17 22 29 39 45 52 61 68 71 74 81 84 84 85 87 87 87 88 88 88
4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 7 10 12 17 22 29 39 45 52 61 68 71 74 81 84 84 85 87 87 87 88 88 88
|##### |# | | | | | | | | | |## |### |## |##### |###### |#######| |########## |###### |####### |######### |####### |### |### |####### |### | |# |## | | |# | | | |----+----+----+----+----+----+----+-5 10 15 20 25 30 35 40
Σ fij = 88
Σfij Xij
=1631
88
88
100
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Número de Items o preguntas: 34 Número de alumnos examinados: 88 ΣXij2: 33 681 ΣXij : 1 631 N ij: 88 Media aritmética de las puntuaciones: 18.534 Puntuación mínima: 0 Puntuación máxima: 34
Tabla 1: Resultados de una prueba objetiva en 88 estudiantes universitarios
Ambas columnas representan lo que se llama una distribución de frecuencias. Para que el cálculo de la media pueda efectuarse es preciso crear una columna que sea el resultado de multiplicar cada valor de la columna 1 por su correspondiente valor de la columna 2, dando lugar a la columna 3, cuya suma final es: 1631.
Media aritmética = Σfij Xij / Σfij = 1631 / 88 = 18.53.
Se observará que por este procedimiento se obtiene idéntico valor de media aritmética. Pero sigamos. Existe una tercera forma de presentación de los datos, que se justifica cuando el recorrido de la variable es considerable. Y considerable puede ser el caso presente, donde es de 35. En estos casos es recomendable agrupar los datos en frecuencias. Pero para que el recorrido de los datos sea más real, se van a incorporar algunas puntuaciones más (60) a lo largo del recorrido de la variable añadiendo más sujetos en forma de frecuencias, resultando en total 144, deduciendo los 4 alumnos que contabilizaron con puntuación 0. Los datos resultantes son éstos: 1, 4, 4, 5, 5, 7, 9, 9, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 28, 29, 29, 29, 30, 30, 30, 30, 30, 31, 31, 31, 31, 32, Si estos datos se pasan a una tabla y se representan resulta la tabla y gráfico 2. Ya se aludió a cómo hacer intervalos. Se van a insertar 7 con 5 de recorrido para que nos dé exacto. Se van a incluir los intervalos, sus frecuencias, la puntuación media del intervalo o marca de clase, y los productos de cada frecuencia por su marca de clase. La suma de estos productos es la suma de las puntuaciones de los 144 alumnos -Σfij XiI - que vale: 2875. Así, pues, mientras la media con los datos sin agrupar arrojaba la cantidad de 19.43, con los datos agrupados en frecuencias las media es de 19.96. La lectura comparativa que se haga de estos resultados puede ser diversa. Se puede afirmar que apenas difieren o lo contrario. Se puede decir que las medias no se distancian tanto como para negarse al cálculo, si los datos están
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ya preparados para obtener la media por intervalos. De cualquier forma el uso de paquetes estadísticos ha modificado los presupuestos de muchos procedimientos abreviados anteriores al advenimiento de los ordenadores.
Recapitulación. Así, pues, la media aritmética es el valor promedio -real o no- aritmético de las puntuaciones o medidas de un conjunto y responde a la fórmula de dividir la suma del conjunto de medidas por el número de medidas de dicho conjunto. Se pueden presentar distintos casos en el cálculo:
1) Que los valores o medidas de la distribución se encuentren una sola vez o, aunque se encuentren varias, no sea excesiva la frecuencia. En este caso la media aritmética resulta de dividir por el tamaño de la muestra la suma de las puntuaciones. 2) Que los valores de las medidas se encuentren en la distribución más veces. En este caso se construye una distribución de frecuencias con intervalos de amplitud uno (1). Para llegar a la suma de las puntuaciones se requiere sumar la multiplicación de cada valor por su frecuencia y después se divide el resultado de dicha suma por el tamaño de la muestra. 3) Que los valores de las medidas sean muchos y variados, es decir, tengan un amplio recorrido y ordinariamente se encuentren en la distribución más de una vez. En este caso se construye una distribución de frecuencias con intervalos de amplitud de más de 1. Se trata de una distribución de datos agrupados en intervalos de frecuencias. Ya se ha hablado de la propiedades. Se ha dicho basicamente dos cosas, a saber, que la suma de
las desviaciones de todas las medidas respecto de la media aritmética (puntuaciones diferenciales) es cero (0), por una parte. Y que la suma de los cuadrados de las desviaciones de todas las medidas respecto de la media aritmética es menor que la suma de cuadrados de las desviaciones de dichas medidas respecto de cualquier otro valor. Esto es, la media aritmética es el valor central alrededor del cual la suma de dichos cuadrados de desviaciones es un mínimo.
De esta propiedad puede derivar una definición según la cual la media es esa medida de posición central con respecto a la cual la suma de cuadrados es un mínimo; o es una medida de tendencia central en el sentido de mínimos cuadrados. También se ha aludio a la utilización. propiedades ventajosas: Se ha dicho que la media aritmética tiene muchas
En primer lugar, a diferencia de otros promedios de tendencia central, reúne todos los valores considerados, por lo cual tiene en cuenta la información suministrada por los datos;
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(1) Número de pregunta: Xij 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
(2) Frecuencia fij + el incremento 0 1 0 0 0+2 0+2 0 0+1 0 0 +2 0+1 2+1 3+1 2+1 5 5+1 7+2 0+10 10+3 6+6 7+3 9+3 7+2 3+5 3+4 7 3 0 1 2+1 0+5 0+4 1 0 0
(3) Frecuencia incrementada: fij 0 1 0 0 2 2 0 1 0 2 1 3 4 3 5 6 9 10 13 12 10 12 9 8 7 7 3 0 1 3 5 4 1 0 0
(3) Frecuencias (7) Representación gráfica de los alumnos por Xij : fij Xij examinados 0 1 0 0 8 10 0 7 0 18 10 33 48 39 70 90 144 170 234 228 200 231 198 184 168 175 78 0 28 87 150 124 64 0 0 | |# | | |## |## | |# | |## |# |### |#### |### |##### |###### |######### |########## |############# |############ |########## |########### |######### |######## |####### |####### |### | |# |### |##### |#### |# | | | |----+----+----+----+----+----+----+----+ 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Tabla 2: Resultados numéricos y gráficos de una prueba objetiva de 144 estudiantes universitarios
Σ fij = 8 Σ fij = 144 Σ fij ó (N ij) : 144 Media aritmética: 19.43 Σfij Xij : 2798
Σ fij Xij = 2798
-
Es, por otra parte, la más estable de las medidas de tendencia central para la mayor parte de las distribuciones que se encuentran en la práctica, entre otras razones porque
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en ella, a diferencia de los otros promedios, intervienen todos los valores de la distribución. Es, además, la más consistente entre las diferentes muestras que se pueden extraer de la misma población; (4) Intervalos de puntuaciones: XijI 0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 fij Marca de clase (media del intervalo): XiI 2.5 7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5 fij XiI Estadísticos
3 5 16 50 46 14 10 Σfij = 144
Tabla 3: Resultados numéricos de una prueba objetiva de 144 estudiantes universitarios cuyas puntuaciones están agrupadas en intervalos de frecuencia
7.5 37.5 200 875 1012.5 385 357.5 Σfij XiI = 2875
Media aritmética:
Σfij XiI / Σfij = 2875 / 144 = 19.96
-
Por las ventajas mencionadas, la media aritmética es el promedio de tendencia central utilizado más frecuentemente para el análisis posterior de datos.
Sin embargo, la primera de las ventajas puede ser fuente de un gran inconveniente: Cuando los valores son muy extremos, es decir, cuando existen datos atípicos por uno o ambos extremos de la distribución éstos ejercen una fuerte influencia distorsionadora de la tendencia central del grupo, por lo que la media se convierte en imagen falsa de la distribución.
2. Mediana-Mdn
La mediana es un valor tal que la mitad de las observaciones caen por encima de ella y la otra mitad por debajo. Expresándola en percentiles, se podría decir que la mediana es el valor -real o no- de la distribución correspondiente al percentil 50º. Es el valor central de la distribución cuando todas las puntuaciones se ordenan según su magnitud.
Cálculo. Son varios los casos que se pueden presentar para el cálculo de la mediana:
Cuando los valores no aparecen más de una vez, los cálculos son sencillos; Cuando ciertos valores aparecen más de una vez, se calcula la mediana a partir de datos agrupados en frecuencias. En este caso los pasos a dar son los siguientes: 1) Computar las frecuencias acumuladas; 2) Determinar N/2, es decir, la mitad del número de casos;
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3) Encontrar el intervalo de clase en el que cae el caso medio y determinar los límites exactos de dicho intervalo; 4) Interpolar para encontrar un valor en la escala sobre y bajo el cual cae la mitad del número total de casos. Esto es la mediana. Algo similar se puede afirmar de los datos agrupados en intervalos de frecuencias.
Existe una fórmula general de cálculo de percentiles, que se va a proponer aquí porque es universal y muy sencilla, aunque aparentemente sea compleja. No hay que olvidar que la mediana es el percentil 50. Por tanto, sabiendo calcular los percentiles, sabemos calcular el percentil 50. Esta es la fórmula de cálculo de percentiles, de cualquier percentil (Pn): Percentil: Pn = Li + {( Pn N/100 - F) / fm}h donde: Pn : Percentil buscado; cuando es la mediana es el percentil 50; Li : Límite exacto mínimo del intervalo que contiene el percentil o la mediana; N : Número de casos; F : Suma de todas las frecuencias por debajo de Li; fm : Frecuencias del intervalo que contiene el percentil o la mediana; h : Amplitud del intervalo. Cuando los datos contienen la serie de números naturales, la amplitud es la unidad. Se van a incluir los datos de la tabla 1 anteriormente citada, de la que se han extraído las puntuaciones con frecuencia cero para simplificar la tabla. Los pasos para calcular la mediana o el percentil son los siguientes, después de tener la tabla de puntuaciones y sus frecuencias: 1) Cálculo de las frecuencias acumuladas; 2) Cálculo del valor de frecuencia en que se encuentra el percentil o la mediana; para identificar el valor límite inferior en el que se encuentra la mediana se usa esta fórmula: P50 N/100; 3) Identificación del Li ; 4) Sustitución en la fórmula. Con los datos se va a calcular la mediana, Mdn, recurriendo a la fórmula: Mediana = Li + {( P50 N/100 - F) / fm}h = Li + {(N/2 - F) / fm }h. Así: Mdn = 19 + ⎨{50 (88) / 100 - 39}/ 6⎬ 1 = 19.83.
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(1) Núm. de pregunta: Xij 0 1 11 12 13 14 15 16 18 19 20 21 22 23 24 25 26 28 29 32
(2) Frecuencia fij 4 1 2 3 2 5 5 7 10 6 7 9 7 3 3 7 3 1 2 1 Σ fij = 88
(5) Frecuencias acumuladas: faij 4 5 7 10 12 17 22 29 39 45 52 61 68 71 74 81 84 85 87 88 88
Cálculo de la mediana Mdn = Li + {( P50 N/100 - F) / fm}h 1) Cálculo del valor de la frecuencia acumulada en que se encuentra la Mediana: P50 N/100 = 50 (88) / 100 = 44. La mediana será 19 más una pequeña cantidad no alcanzando a 20; el valor de la puntuación directa 19 es el valor al que le corresponde la frecuencia 44; se encuentra después de 18, pues este valor llega a 39; está entre el 39 y el 45. Si el valor 19 recorre desde 19 hasta 19.99 antes de llegar a 20, el Li es 19. Así: Mdn = 19 + ⎨{50 (88) / 100 - 39}/ 6⎬ 1 = 19.83.
2)
3) 4)
Si los datos fueran para datos agrupados en intervalos de frecuencia, se procederá como se indicará a continuación. Se incluyen los datos de la tabla 3 anterior. (4) Intervalos de puntuaciones: XijI 0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 fij Frecuencias asumuladas Mediana = Li + {( P50 N/100 - F) / fm}h
3 5 16 50 46 14 10 Σfij = 144
3 8 24 74 120 134 144
144
P50 (N)/100 = 50 (144)/100 = 72 Li = 15 Mdn = Li + {( P50 N/100 - F) / fm}h = 15 + ⎨{50(144) / 100 - 24} / 50⎬ 5 = 15 + 4.80 = 19.80
Interpretación. La mediana puede o no coincidir con la media aritmética. Si las observaciones o la distribución es simétrica ambos estadísticos de tendencia central coinciden. Sin embargo, cuando la distribución de los datos está sesgada, tanto positiva como negativamente, no coinciden:
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Si está sesgada positivamente, es decir, con las mayores frecuencias en los valores bajos de la distribución (los valores extremos se encuentran en la parte superior) la mediana resultará menor que la media aritmética. Si la disribución, sin embargo, está sesgada negativamente, es decir, con las mayores frecuencias en los valores altos de la distribución (los valores extremos se encuentran en la parte inferior), la mediana resultará mayor que la media aritmética.
Utilización. Al no resultar afectada la mediana, a diferencia de la media aritmética, por los valores extremos de la distribución, esta cualidad resulta beneficiosa para que pueda ser utilizada como descriptora típica de la localización de la distribución. También se utiliza cuando algunos valores extremos de una distribución no están suficientemente claros.
3. Moda-Mo
La moda es el estadístico de tendencia, que expresa cantidad o tamaño, cuyo valor corresponde a la puntuación de la distribución asociada a la frecuencia mayor. Ni que decir tiene que cuando una distribución tiene dos o más frecuencias iguales, la distribución tendrá dos o más modas. Se llamarán bimodales, trimodales, ... La moda es un estadístico de tendencia central de valor práctico limitado. Si repasamos las distribuciones de las tablas anteriores, se comprobará que la tabla 1 tiene una moda de 18, asociada a una frecuencia de 10 y es bastante normal; sin embargo, tiene un valor de 21, asociada con una frecuencia 9. La moda será tanto más representativa del grupo cuanto más normal y cerca esté de los demás estadísticos de tendencia central. Puede llamar la atención la tabla 2, en la cual se han insertado unos sujetos en las puntuaciones altas de la distribución. La distribución tiene una moda clara de 18. Pero si desde el punto de vista pedagógico se quisiera urgar un poco, se podría decir que el grupo en conjunto es bastante homogéneo, pero en lo alto de la distribución y separados de los demás alumnos del grupo de 144 se encuentran 15 alumnos, los cuales forman un grupo de alto rendimiento, cuya moda es 30. Es un grupo al que habría que rendir atención.
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Comparación de los estadísticos
En el siguiente cuadro se incluyen los tres estadísticos de tendencia central más usuales y cuándo es apropiada su elección:
Estadístico de tendencia central Media Mediana Elección apropiada Ordinariamente se prefiere: Definida con más rigor, cálculo fácil, susceptible de tratamiento algebraico Si hay observaciones atípicas que afectan a la media, se prefieren estadísticos de orden; y Si la distribución de la variable muestra una asimetría muy grande Para una variable nominal. Raramente se utiliza con variables de orden, intervalo o razón. No son infrecuentes las situaciones de rendimiento escolar y académico en las que en un supuesto grupo subyacen dos subgrupos, cada uno de los cuales tiene una moda (distribuciones bimodales, ...).
Moda
Para finalizar, véase cómo se relacionan la media, la mediana y la moda con distribuciones sesgadas, que pueden ser positivas y negativas. La primera es una distribución asimétrica sesgada en sus valores hacia la derecha, que se llamará más adelante distribución asimétrica negativa. Distribución asimétrica negativa:
Núm. de pregunta 0 14 15 18 19 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Frecuencia 5 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 5 2 4 10 16 11 12 7 1 Frecuencia acumulada 5 6 8 9 11 13 15 16 17 18 20 25 27 31 41 57 68 80 87 88 Porcentaje de alumnos examinados +###### |# +## |# |## |## |## |# |# +# |## |###### |## |##### +########### |################## |############ |############## |######## +# |----+----+----+----+----+ 5 10 15 20 25
35 ite
88
88
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Número de Items o preguntas: 35 Número de alumnos examinados: 88 Media aritmética de las puntuaciones: 27.659 Mediana: 31.00 Moda: 30.30
Distribución asimétrica positiva:
¿Cuál de ellos se ha de elegir? La elección de los estadísticos de tendencia central considerados depende de la naturaleza de la variable y de la escala en que se expresa. La decisión de su elección depende asimismo del número de datos que se incluyan en su cómputo porque, mientras las media incluye todos los datos, los otros dos no las incluyen. Y la centralidad en su representación gráfica es distinta: En el caso de la media es una centralidad aritmética, en la mediana es geográfica y en la moda es geométrica. Véase en un cuadro.
Estadístico tendencia central Media Mediana de Naturaleza escala de variable y/o la Representación puntuaciones de las Si se representara gráficamente la misma distribución de frecuencias ¿en qué punto en el eje horizontal estaría cada estadístico? Corresponde al centro de gravedad (centroide) o punto de equilibrio La ordenada divide el área bajo la curva en dos partes iguales
Moda
Variables de intervalo o de razón Cálculo basado en propiedades ordinales de los datos Estadístico nominal; depende de la frecuencia de aparición
Incorporación de todos los valores de la distribución No inclusión de todos los valores de la distribución
Sólo es considerado el valor con más alta frecuencia
Corresponde a la mayor altura de la curva
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Eduardo López Dpto. MIDE. UCM
Introducción
El recurso a promedios de tendencia central, magnitud o tamaño de un grupo es habitual en la investigación y en la vida diaria, dado que es frecuente la necesidad de poner de relieve ciertas características particularmente importantes de un grupo de datos, tomados como un todo. En general, un promedio es un valor central que suele estar próximo al punto de mayor concentración de las medidas y parece que de alguna manera tipifica el conjunto completo. Es decir, un solo número describe la localización general de un conjunto de valores. La función, pues, que cumplen los promedios llamados de tendencia central es la de servir de pauta o punto de referencia para las unidades que conforman el grupo, pues una puntuación individual es en sí ininterpretable, sin significado. Dicho de otro modo, un promedio de tendencia
tendencia central sirven, pues, de norma para las unidades que componen el grupo. Solamente haciendo que la puntuación individual se refiera al grupo es cuando comienza a cobrar significado. Cuál de ellas sea la más adecuada para cumplir tal función dependerá de cómo sean los datos, de cómo de representativo sea el promedio, es decir, de que cumpla su función. Promedios llamados de tendencia central son la media aritmética, la mediana, la moda, la media geométrica y la media armónica. Solamente se hablará de las tres primeras por ser las de mayor uso en Estadística en educación. La media geométrica es la media de una serie exponencial y la media armónica es la inversa de la media de las inversas de las puntuaciones.
central viene a decirnos cuál es el valor de la unidad más representativa del grupo, de tal modo que ésta es la que podría denominarse y ser considerada el prototipo del grupo. Las medidas de
1. Media aritmética.
Un profesor -son datos reales- aplica a un grupo de 88 alumnos universitarios una prueba de 34 preguntas de prueba objetiva para ver su grado de conocimiento de la Estadística. Los resultados fueron los siguientes (hubo 4 alumnos que puntuaron 0 por anulárseles la prueba a efectos de cálculo) (página siguiente). 0, 0, 0, 0, 1, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 28, 29, 29, 32
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Son, por tanto, puntuaciones (Xij) de 88 alumnos (N) del grupo j (Nj). Si se quiere representar la puntuación promedio desde el punto de vista aritmético no resta otra cosa sino sumar tales puntuaciones y promediarlas; de este modo se obtiene la media aritmética.
Media aritmética = Σ Xij / Nj. En nuestro caso: (0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 11 + ... + 26 + 28 + 29 +
29 + 32) / 88 = 18.53.
De la contemplación de este valor se pueden hacer los siguientes comentarios y extraer algunas conclusiones: 1) No necesariamente la media aritmética coincide con valores reales o empíricos de la distribución, más bien lo ordinario es que no coincida. Esto significa que es un valor teórico de una distribución, que cumple algunas condiciones. 2) La suma de las diferencias de cada puntuación directa a la media aritmética es igual a cero (0): Σ (Xij - media) = 0. Esta condición es de enorme importancia, porque muchas de las fórmulas de estadísticos, creadas para expresar el promedio de las puntuaciones diferenciales respecto de la media, tienden a resolver este problema de la nula diferencia, recurriendo a expresar las puntuaciones diferenciales ya en valor absoluto o recurriendo a la segunda potencia. 3) Otra forma práctica de interpretar la media, pero que aquí no lo es porque no hay ningún alumno que haya sacado la puntuación 18.534, es afirmar que aquel alumno que obtuviera en el grupo tal puntuación sería el alumno que mejor representaría al grupo; es decir, sería el alumno representativo del grupo. En el fondo la media aritmética, como cualquier otro promedio, no es sino eso, el mejor exponente de los sujetos del grupo, convirtiéndose en norma del grupo. 4) Finalmente, aunque se podrían seguir extrayendo muchas otras conclusiones, parece conveniente destacar que la media aritmética será más representativa del grupo cuanto más normal sea la distribución. Más adelante se incluirán en este tema otras distribuciones de las cuales la media no es el mejor exponente de representación. Pero sigamos. Aunque ya se dijo en el tema dedicado a la tabulación de datos, es preciso repetir aquí que los datos anteriores precisan de un modo más resumido de tratamiento y, sobre todo, de cálculo. Por ello, en la tabla adjunta se incluye una columna (1) de datos de puntuaciones directas (Xij), que son las puntuaciones que estaban incluídas en la cuadrícula anterior y que se repetían cuantas veces habían sido obtenidas por los respectivos alumnos. Para no tener que repetir tales puntuaciones dando lugar a una columna de puntuaciones directas de 88 filas, lo que se ha hecho ha sido incluir en la columna primnera las posibles puntuaciones, que los alumnos pueden obtener de la aplicación de la prueba objetiva, y adjuntar en una siguiente columna (2) el número de sujetos que han obtenido cada una de las posibles 34 puntuaciones (más 1, si se quiere añadir el 0). Es muy probable que la puntuación o item 17 haya sido anulado, lo que explicaría que no tiene alumnos, que lo hayan respondido; de lo contrario, sería una situación un tanto extraña.
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(1) Número de pregunta:
(2) Frecuencia
(3)
fij Xij
(4) Porcentaje: Pij
Xij
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
fij
4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 2 5 5 7 10 6 7 9 7 3 3 7 3 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 36 26 70 75 112 180 114 140 189 154 69 72 175 78 0 28 58 0 0 32 0 0
(5) Frecuencia acumulada:
(6) Porcentaja acumulado: Paij 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 8 11 14 19 25 33 44 51 59 69 77 81 84 92 95 95 97 99 99 99 99 99 99
(7) Representación gráfica de examinados
faij
4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 7 10 12 17 22 29 39 45 52 61 68 71 74 81 84 84 85 87 87 87 88 88 88
4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 7 10 12 17 22 29 39 45 52 61 68 71 74 81 84 84 85 87 87 87 88 88 88
|##### |# | | | | | | | | | |## |### |## |##### |###### |#######| |########## |###### |####### |######### |####### |### |### |####### |### | |# |## | | |# | | | |----+----+----+----+----+----+----+-5 10 15 20 25 30 35 40
Σ fij = 88
Σfij Xij
=1631
88
88
100
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Número de Items o preguntas: 34 Número de alumnos examinados: 88 ΣXij2: 33 681 ΣXij : 1 631 N ij: 88 Media aritmética de las puntuaciones: 18.534 Puntuación mínima: 0 Puntuación máxima: 34
Tabla 1: Resultados de una prueba objetiva en 88 estudiantes universitarios
Ambas columnas representan lo que se llama una distribución de frecuencias. Para que el cálculo de la media pueda efectuarse es preciso crear una columna que sea el resultado de multiplicar cada valor de la columna 1 por su correspondiente valor de la columna 2, dando lugar a la columna 3, cuya suma final es: 1631.
Media aritmética = Σfij Xij / Σfij = 1631 / 88 = 18.53.
Se observará que por este procedimiento se obtiene idéntico valor de media aritmética. Pero sigamos. Existe una tercera forma de presentación de los datos, que se justifica cuando el recorrido de la variable es considerable. Y considerable puede ser el caso presente, donde es de 35. En estos casos es recomendable agrupar los datos en frecuencias. Pero para que el recorrido de los datos sea más real, se van a incorporar algunas puntuaciones más (60) a lo largo del recorrido de la variable añadiendo más sujetos en forma de frecuencias, resultando en total 144, deduciendo los 4 alumnos que contabilizaron con puntuación 0. Los datos resultantes son éstos: 1, 4, 4, 5, 5, 7, 9, 9, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 28, 29, 29, 29, 30, 30, 30, 30, 30, 31, 31, 31, 31, 32, Si estos datos se pasan a una tabla y se representan resulta la tabla y gráfico 2. Ya se aludió a cómo hacer intervalos. Se van a insertar 7 con 5 de recorrido para que nos dé exacto. Se van a incluir los intervalos, sus frecuencias, la puntuación media del intervalo o marca de clase, y los productos de cada frecuencia por su marca de clase. La suma de estos productos es la suma de las puntuaciones de los 144 alumnos -Σfij XiI - que vale: 2875. Así, pues, mientras la media con los datos sin agrupar arrojaba la cantidad de 19.43, con los datos agrupados en frecuencias las media es de 19.96. La lectura comparativa que se haga de estos resultados puede ser diversa. Se puede afirmar que apenas difieren o lo contrario. Se puede decir que las medias no se distancian tanto como para negarse al cálculo, si los datos están
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ya preparados para obtener la media por intervalos. De cualquier forma el uso de paquetes estadísticos ha modificado los presupuestos de muchos procedimientos abreviados anteriores al advenimiento de los ordenadores.
Recapitulación. Así, pues, la media aritmética es el valor promedio -real o no- aritmético de las puntuaciones o medidas de un conjunto y responde a la fórmula de dividir la suma del conjunto de medidas por el número de medidas de dicho conjunto. Se pueden presentar distintos casos en el cálculo:
1) Que los valores o medidas de la distribución se encuentren una sola vez o, aunque se encuentren varias, no sea excesiva la frecuencia. En este caso la media aritmética resulta de dividir por el tamaño de la muestra la suma de las puntuaciones. 2) Que los valores de las medidas se encuentren en la distribución más veces. En este caso se construye una distribución de frecuencias con intervalos de amplitud uno (1). Para llegar a la suma de las puntuaciones se requiere sumar la multiplicación de cada valor por su frecuencia y después se divide el resultado de dicha suma por el tamaño de la muestra. 3) Que los valores de las medidas sean muchos y variados, es decir, tengan un amplio recorrido y ordinariamente se encuentren en la distribución más de una vez. En este caso se construye una distribución de frecuencias con intervalos de amplitud de más de 1. Se trata de una distribución de datos agrupados en intervalos de frecuencias. Ya se ha hablado de la propiedades. Se ha dicho basicamente dos cosas, a saber, que la suma de
las desviaciones de todas las medidas respecto de la media aritmética (puntuaciones diferenciales) es cero (0), por una parte. Y que la suma de los cuadrados de las desviaciones de todas las medidas respecto de la media aritmética es menor que la suma de cuadrados de las desviaciones de dichas medidas respecto de cualquier otro valor. Esto es, la media aritmética es el valor central alrededor del cual la suma de dichos cuadrados de desviaciones es un mínimo.
De esta propiedad puede derivar una definición según la cual la media es esa medida de posición central con respecto a la cual la suma de cuadrados es un mínimo; o es una medida de tendencia central en el sentido de mínimos cuadrados. También se ha aludio a la utilización. propiedades ventajosas: Se ha dicho que la media aritmética tiene muchas
En primer lugar, a diferencia de otros promedios de tendencia central, reúne todos los valores considerados, por lo cual tiene en cuenta la información suministrada por los datos;
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(1) Número de pregunta: Xij 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
(2) Frecuencia fij + el incremento 0 1 0 0 0+2 0+2 0 0+1 0 0 +2 0+1 2+1 3+1 2+1 5 5+1 7+2 0+10 10+3 6+6 7+3 9+3 7+2 3+5 3+4 7 3 0 1 2+1 0+5 0+4 1 0 0
(3) Frecuencia incrementada: fij 0 1 0 0 2 2 0 1 0 2 1 3 4 3 5 6 9 10 13 12 10 12 9 8 7 7 3 0 1 3 5 4 1 0 0
(3) Frecuencias (7) Representación gráfica de los alumnos por Xij : fij Xij examinados 0 1 0 0 8 10 0 7 0 18 10 33 48 39 70 90 144 170 234 228 200 231 198 184 168 175 78 0 28 87 150 124 64 0 0 | |# | | |## |## | |# | |## |# |### |#### |### |##### |###### |######### |########## |############# |############ |########## |########### |######### |######## |####### |####### |### | |# |### |##### |#### |# | | | |----+----+----+----+----+----+----+----+ 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Tabla 2: Resultados numéricos y gráficos de una prueba objetiva de 144 estudiantes universitarios
Σ fij = 8 Σ fij = 144 Σ fij ó (N ij) : 144 Media aritmética: 19.43 Σfij Xij : 2798
Σ fij Xij = 2798
-
Es, por otra parte, la más estable de las medidas de tendencia central para la mayor parte de las distribuciones que se encuentran en la práctica, entre otras razones porque
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en ella, a diferencia de los otros promedios, intervienen todos los valores de la distribución. Es, además, la más consistente entre las diferentes muestras que se pueden extraer de la misma población; (4) Intervalos de puntuaciones: XijI 0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 fij Marca de clase (media del intervalo): XiI 2.5 7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5 fij XiI Estadísticos
3 5 16 50 46 14 10 Σfij = 144
Tabla 3: Resultados numéricos de una prueba objetiva de 144 estudiantes universitarios cuyas puntuaciones están agrupadas en intervalos de frecuencia
7.5 37.5 200 875 1012.5 385 357.5 Σfij XiI = 2875
Media aritmética:
Σfij XiI / Σfij = 2875 / 144 = 19.96
-
Por las ventajas mencionadas, la media aritmética es el promedio de tendencia central utilizado más frecuentemente para el análisis posterior de datos.
Sin embargo, la primera de las ventajas puede ser fuente de un gran inconveniente: Cuando los valores son muy extremos, es decir, cuando existen datos atípicos por uno o ambos extremos de la distribución éstos ejercen una fuerte influencia distorsionadora de la tendencia central del grupo, por lo que la media se convierte en imagen falsa de la distribución.
2. Mediana-Mdn
La mediana es un valor tal que la mitad de las observaciones caen por encima de ella y la otra mitad por debajo. Expresándola en percentiles, se podría decir que la mediana es el valor -real o no- de la distribución correspondiente al percentil 50º. Es el valor central de la distribución cuando todas las puntuaciones se ordenan según su magnitud.
Cálculo. Son varios los casos que se pueden presentar para el cálculo de la mediana:
Cuando los valores no aparecen más de una vez, los cálculos son sencillos; Cuando ciertos valores aparecen más de una vez, se calcula la mediana a partir de datos agrupados en frecuencias. En este caso los pasos a dar son los siguientes: 1) Computar las frecuencias acumuladas; 2) Determinar N/2, es decir, la mitad del número de casos;
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3) Encontrar el intervalo de clase en el que cae el caso medio y determinar los límites exactos de dicho intervalo; 4) Interpolar para encontrar un valor en la escala sobre y bajo el cual cae la mitad del número total de casos. Esto es la mediana. Algo similar se puede afirmar de los datos agrupados en intervalos de frecuencias.
Existe una fórmula general de cálculo de percentiles, que se va a proponer aquí porque es universal y muy sencilla, aunque aparentemente sea compleja. No hay que olvidar que la mediana es el percentil 50. Por tanto, sabiendo calcular los percentiles, sabemos calcular el percentil 50. Esta es la fórmula de cálculo de percentiles, de cualquier percentil (Pn): Percentil: Pn = Li + {( Pn N/100 - F) / fm}h donde: Pn : Percentil buscado; cuando es la mediana es el percentil 50; Li : Límite exacto mínimo del intervalo que contiene el percentil o la mediana; N : Número de casos; F : Suma de todas las frecuencias por debajo de Li; fm : Frecuencias del intervalo que contiene el percentil o la mediana; h : Amplitud del intervalo. Cuando los datos contienen la serie de números naturales, la amplitud es la unidad. Se van a incluir los datos de la tabla 1 anteriormente citada, de la que se han extraído las puntuaciones con frecuencia cero para simplificar la tabla. Los pasos para calcular la mediana o el percentil son los siguientes, después de tener la tabla de puntuaciones y sus frecuencias: 1) Cálculo de las frecuencias acumuladas; 2) Cálculo del valor de frecuencia en que se encuentra el percentil o la mediana; para identificar el valor límite inferior en el que se encuentra la mediana se usa esta fórmula: P50 N/100; 3) Identificación del Li ; 4) Sustitución en la fórmula. Con los datos se va a calcular la mediana, Mdn, recurriendo a la fórmula: Mediana = Li + {( P50 N/100 - F) / fm}h = Li + {(N/2 - F) / fm }h. Así: Mdn = 19 + ⎨{50 (88) / 100 - 39}/ 6⎬ 1 = 19.83.
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(1) Núm. de pregunta: Xij 0 1 11 12 13 14 15 16 18 19 20 21 22 23 24 25 26 28 29 32
(2) Frecuencia fij 4 1 2 3 2 5 5 7 10 6 7 9 7 3 3 7 3 1 2 1 Σ fij = 88
(5) Frecuencias acumuladas: faij 4 5 7 10 12 17 22 29 39 45 52 61 68 71 74 81 84 85 87 88 88
Cálculo de la mediana Mdn = Li + {( P50 N/100 - F) / fm}h 1) Cálculo del valor de la frecuencia acumulada en que se encuentra la Mediana: P50 N/100 = 50 (88) / 100 = 44. La mediana será 19 más una pequeña cantidad no alcanzando a 20; el valor de la puntuación directa 19 es el valor al que le corresponde la frecuencia 44; se encuentra después de 18, pues este valor llega a 39; está entre el 39 y el 45. Si el valor 19 recorre desde 19 hasta 19.99 antes de llegar a 20, el Li es 19. Así: Mdn = 19 + ⎨{50 (88) / 100 - 39}/ 6⎬ 1 = 19.83.
2)
3) 4)
Si los datos fueran para datos agrupados en intervalos de frecuencia, se procederá como se indicará a continuación. Se incluyen los datos de la tabla 3 anterior. (4) Intervalos de puntuaciones: XijI 0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 fij Frecuencias asumuladas Mediana = Li + {( P50 N/100 - F) / fm}h
3 5 16 50 46 14 10 Σfij = 144
3 8 24 74 120 134 144
144
P50 (N)/100 = 50 (144)/100 = 72 Li = 15 Mdn = Li + {( P50 N/100 - F) / fm}h = 15 + ⎨{50(144) / 100 - 24} / 50⎬ 5 = 15 + 4.80 = 19.80
Interpretación. La mediana puede o no coincidir con la media aritmética. Si las observaciones o la distribución es simétrica ambos estadísticos de tendencia central coinciden. Sin embargo, cuando la distribución de los datos está sesgada, tanto positiva como negativamente, no coinciden:
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Si está sesgada positivamente, es decir, con las mayores frecuencias en los valores bajos de la distribución (los valores extremos se encuentran en la parte superior) la mediana resultará menor que la media aritmética. Si la disribución, sin embargo, está sesgada negativamente, es decir, con las mayores frecuencias en los valores altos de la distribución (los valores extremos se encuentran en la parte inferior), la mediana resultará mayor que la media aritmética.
Utilización. Al no resultar afectada la mediana, a diferencia de la media aritmética, por los valores extremos de la distribución, esta cualidad resulta beneficiosa para que pueda ser utilizada como descriptora típica de la localización de la distribución. También se utiliza cuando algunos valores extremos de una distribución no están suficientemente claros.
3. Moda-Mo
La moda es el estadístico de tendencia, que expresa cantidad o tamaño, cuyo valor corresponde a la puntuación de la distribución asociada a la frecuencia mayor. Ni que decir tiene que cuando una distribución tiene dos o más frecuencias iguales, la distribución tendrá dos o más modas. Se llamarán bimodales, trimodales, ... La moda es un estadístico de tendencia central de valor práctico limitado. Si repasamos las distribuciones de las tablas anteriores, se comprobará que la tabla 1 tiene una moda de 18, asociada a una frecuencia de 10 y es bastante normal; sin embargo, tiene un valor de 21, asociada con una frecuencia 9. La moda será tanto más representativa del grupo cuanto más normal y cerca esté de los demás estadísticos de tendencia central. Puede llamar la atención la tabla 2, en la cual se han insertado unos sujetos en las puntuaciones altas de la distribución. La distribución tiene una moda clara de 18. Pero si desde el punto de vista pedagógico se quisiera urgar un poco, se podría decir que el grupo en conjunto es bastante homogéneo, pero en lo alto de la distribución y separados de los demás alumnos del grupo de 144 se encuentran 15 alumnos, los cuales forman un grupo de alto rendimiento, cuya moda es 30. Es un grupo al que habría que rendir atención.
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Comparación de los estadísticos
En el siguiente cuadro se incluyen los tres estadísticos de tendencia central más usuales y cuándo es apropiada su elección:
Estadístico de tendencia central Media Mediana Elección apropiada Ordinariamente se prefiere: Definida con más rigor, cálculo fácil, susceptible de tratamiento algebraico Si hay observaciones atípicas que afectan a la media, se prefieren estadísticos de orden; y Si la distribución de la variable muestra una asimetría muy grande Para una variable nominal. Raramente se utiliza con variables de orden, intervalo o razón. No son infrecuentes las situaciones de rendimiento escolar y académico en las que en un supuesto grupo subyacen dos subgrupos, cada uno de los cuales tiene una moda (distribuciones bimodales, ...).
Moda
Para finalizar, véase cómo se relacionan la media, la mediana y la moda con distribuciones sesgadas, que pueden ser positivas y negativas. La primera es una distribución asimétrica sesgada en sus valores hacia la derecha, que se llamará más adelante distribución asimétrica negativa. Distribución asimétrica negativa:
Núm. de pregunta 0 14 15 18 19 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Frecuencia 5 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 5 2 4 10 16 11 12 7 1 Frecuencia acumulada 5 6 8 9 11 13 15 16 17 18 20 25 27 31 41 57 68 80 87 88 Porcentaje de alumnos examinados +###### |# +## |# |## |## |## |# |# +# |## |###### |## |##### +########### |################## |############ |############## |######## +# |----+----+----+----+----+ 5 10 15 20 25
35 ite
88
88
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Número de Items o preguntas: 35 Número de alumnos examinados: 88 Media aritmética de las puntuaciones: 27.659 Mediana: 31.00 Moda: 30.30
Distribución asimétrica positiva:
¿Cuál de ellos se ha de elegir? La elección de los estadísticos de tendencia central considerados depende de la naturaleza de la variable y de la escala en que se expresa. La decisión de su elección depende asimismo del número de datos que se incluyan en su cómputo porque, mientras las media incluye todos los datos, los otros dos no las incluyen. Y la centralidad en su representación gráfica es distinta: En el caso de la media es una centralidad aritmética, en la mediana es geográfica y en la moda es geométrica. Véase en un cuadro.
Estadístico tendencia central Media Mediana de Naturaleza escala de variable y/o la Representación puntuaciones de las Si se representara gráficamente la misma distribución de frecuencias ¿en qué punto en el eje horizontal estaría cada estadístico? Corresponde al centro de gravedad (centroide) o punto de equilibrio La ordenada divide el área bajo la curva en dos partes iguales
Moda
Variables de intervalo o de razón Cálculo basado en propiedades ordinales de los datos Estadístico nominal; depende de la frecuencia de aparición
Incorporación de todos los valores de la distribución No inclusión de todos los valores de la distribución
Sólo es considerado el valor con más alta frecuencia
Corresponde a la mayor altura de la curva
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