Collage de ejercicios radicales

Published on February 2017 | Categories: Documents | Downloads: 61 | Comments: 0 | Views: 677
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Instituto Tecnológico y de Estudio Superiores de Monterrey
Collage de ejercicios

Teoremas importantes a tomar en cuenta cuando se usan radicales.
aεℜ , n es par Si a ≥ 0 , significa que a es positivo o igual a cero. Se cumple:
n n

an = a n = a

Ejemplo: 32 = 3 Si a < 0 , significa que a es negativo. Se cumple:
n

an = a

6

( − 5) 6

= −5 =5

Las barras del ejemplo anterior son de valor absoluto. DE ACUERDO CON LO ANTERIOR, A MENOS DE QUE SE INDIQUE LO CONTRARIO, LAS VARIABLES EN LOS RADICANDOS REPRESENTAN NUMEROS REALES NO NEGATIVOS Y, A SU VEZ, EL RADICANDO ES UN NÚMERO NO NEGATIVO. POR LO MISMO: x6 = x no
6

x Multiplique
1 1 −   3z 2  2z 4 − z 2     

3 −   3 z2 − z 2  − 9z     3 2

4 1 −  1 −2   10 x 3 − 18 x 2  x   2  

Campus Estado de México Profr. Ing. Alejandro Correa Pérez Ejercicios tomados del libro Álgebra intermedia, Allen 6ª edición.

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Simplifique, dejando el resultado con una parte en forma radical. Ejemplos:
8

x9 =
5

x8 x =

x8 x = x 2 x = x4 x
20 5

x 23 = 5 x 20 x 3 = 5 x 20 5 x 3 = x 5

x3 = x4 5 x3

Cuando un radical se simplifica, el radicando (el valor adentro del radical) debe tener un exponente menor al índice (número de tamaño pequeño del radical).
5

z7

− 20 x 6 y 7 z 12
4

48 x 11 y 21 64 x 12y 23 z 50 64a 5 b 12 27a 14 b 5

6

3

Radicales semejantes
Son aquellos que tienen el mismo radicando y el mismo índice. 5 ,3 5

Radicales no semejantes
Son aquellos que difieren en el radicando o en el índice

5, 3 5

Para sumar

y restar radicales

a) Simplifique cada expresión radical. b) Combine (sume o reste) los radicales semejantes si existen. Campus Estado de México Profr. Ing. Alejandro Correa Pérez Ejercicios tomados del libro Álgebra intermedia, Allen 6ª edición.

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Ejemplo:
3

x 10 y 2 − 3 x 4 y 8 =

3

x 9 3 xy 2 − 3 x 3 y 6 3 xy 2

= x 3 3 xy 2 − xy 2 3 xy 2 = 3 xy 2 x 3 − xy 2

(

)

Simplifique: 4r 7 s 5 + 3r 2 r 3 s 5 − 2rs r 5 s 3 x 3 27 x 5y 2 − x 2 3 x 2 y 2 + 23 x 8 y 2 23 24a 3 y 4 + 4a 3 81 y 4 2b 4 a 4 b + ab 4 16b

Multiplicar radicales
a) Se multiplican los radicales usando la regla del producto. b) Se simplifica el nuevo radical. Ejemplo: 6 x 3 8 x 6 = 6 x 3 8 x 6 = 48 x 9 = 16( 3) x 8 x = 16 x 8 3 x = 4 x 2 3 x Calcular:

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(
(

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3

x − 3 2 y2 x− y

)(

3

x2 − 3 8 y

)

)(
x2

x−y

)

Si f ( x) =
3

g( x) = 3 x 4 + 3 x 2

( f • g )( x ) = f ( x ) • g ( x )

Para el siguiente ejercicio, suponga que el valor que toma x puede ser cualquier
número real, lo cual implica que puede haber valores positivos y negativos. Simplifique f ( x ) . Tomar en cuenta lo teoremas al inicio. f ( x ) = 3 x 2 − 30 x + 75

Simplifique:

( (

x+y

)(

x−y

)

23 x 4 y 5
3

(

3

8 x 12 y 4 + 3 16 xy 9

)

4x − 3 2 y

)(

3

4 x + 3 10

)

Determine ( f • g ) ( x ) f ( x ) = 4 3 x 2 , g( x ) = 4 9 x 4 − 4 x 7 Si la variable puede ser cualquier número real, simplifique: h( r ) = 4r 2 − 32r + 64 f ( x) = 2x + 5 2x + 5, x ≥ − 5 2

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Racionalizar un denominador
a) Se simplifica la expresión b) Se multiplica el numerador y el denominador de una fracción por el mismo radical, de modo que el radicando del denominador se convierta en una potencia perfecta.

Ejemplos: 1 5 • = 5 5 x 3 2
3

5 5 = 5 25 • 2 x 2 = 6 2

=

x 3 2
3

16a 4 = 3 b

8a 3 3 2a 2a 3 2a 2a 3 2a 3 b 2 2a 3 2ab 2 2a 3 2ab 2 = 3 = 3 • = = 3 3 3 b b b b b2 b3

En el ejemplo anterior, el radicando e convirtió en un cubo perfecto para poder racionalizar el denominador al ser la raíz cúbica.

Racionalizar el denominador mediante el conjugado
Cuando el denominador de una expresión racional es un binomio que contiene un radical, se racionaliza el denominador. a) Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de un binomio es un binomio que tiene los mismos dos términos, pero con el signo del segundo término cambiado.

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3+ 2 conjugado : 3− 2 2 3− 5 conjugado 2 3+ 5 Ejemplo: 5 5 2− 3 5 2− 3 5 2− 3 = • = = = 10 − 5 3 1 2+ 3 2+ 3 2− 3 2+ 3 2− 3

(

(

)(

)

)

(

)

Racionalice el denominador en as siguientes expresiones: 3 2x 6 5− 2 x− x+ y y

UNA EXPRESIÓN RADICAL ESTÁ SIMPLIFICADA CUANDO: 1. No hay potencias perfectas que sean factores del radicando y todos los exponentes del radicando son menores que el índice del radical. 2. Ningún radicando tiene una fracción. 3. Ningún denominador tiene radicales.

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Determine si las siguientes expresiones están simplificadas. En caso contrario, simplifíquelas.

27 x 5 1 2 1 3

Simplifique las siguientes expresiones.

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20 y 4 z 3 3 xy − 2 5 3x 3

4

6 4− y 1 3 + 3 3 4 x+ 1 + x 1 x

c − 2d c− d 2 xy − xy x+ y

5 y−3 +6

NUMEROS COMPLEJOS
− 4 es un número NO real = numero imaginario. Unidad imaginaria es igual a i = − 1 . i 2 = −1 TODO número imaginario tiene a − 1 como factor.

Para cualquier número real positivo “n”, se cumple: Campus Estado de México Profr. Ing. Alejandro Correa Pérez Ejercicios tomados del libro Álgebra intermedia, Allen 6ª edición.

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− n = −1 n = i n Ejemplos: − 81 = 9i − 10 = i 10

Todo número de la forma
a + bi en donde a y b son números reales, es un

número complejo.

Si b=0, el número complejo es un número real; si a=0, el número complejo es un número imaginario puro.

Conjunto de los números reales + Conjunto de los números imaginarios es igual al Conjunto de los números complejos
Ejemplos de números complejos
3 + 7i

a = 3, b = 7 a = 5, b = − 3 a = 6, b = 0 (número real) a = 0, b = 8 (número imaginario puro) a = 0, b = − 7 (número imaginario puro)

5−i 3 6 8i −i 7

Escriba cada uno de los siguientes números complejos en la forma a + bi . Campus Estado de México Profr. Ing. Alejandro Correa Pérez Ejercicios tomados del libro Álgebra intermedia, Allen 6ª edición.

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3 + − 36 5 − − 12 19 − 50 6+ 7

Suma y resta de números complejos
1. 2. 3. 4. Cambie todos los números imaginarios a la forma bi . Sume o reste las partes reales de los números complejos. Sume o reste las partes imaginarias de los números complejos. Escriba la respuesta en la forma a + bi

Calcular:

( 7 + 15i ) + ( − 6 − 2i ) + 20

(5 − ( ( (6 −

− 27 − − 3 + − 48

) (

) ) )

4 − − 45 + − 81 + − 5 − 4 − − 1 − − 16

) (

) (

)

20 − − 12 + 2 5 + − 75

) (

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