Ejercicios Analisis

EJERCICIOS.

An´alisis.
´
. A un numero
complejo z se le considera algebraico si existen enteros a0 , . . . , an , no todos
cero, tales que
a0 zn + a1 zn−1 + · · · + an−1 z + an = 0.
.
.

.
.
.

.
.

.

´
Demuestre que el conjunto de todos los numeros
algebraicos es numerable.
Un espacio m´etrico es llamado separable si contiene un subconjunto denso numerable.
Pruebe que Rn es separable.
´ {Vα } de subconjuntos abiertos de X que cumplen con
Se le llama base a una coleccion
lo siguiente: para todo x ∈ X y cada conjunto abierto G ⊂ X tal que x ∈ G, tenemos
´ de una
x ∈ Vα ⊂ G para alguna α. Es decir, cada conjunto abierto en X es la union
´ de conjuntos de {Vα }. Demuestre que cada espacio m´etrico separable
subcoleccion
tiene una base numerable.
Sea X un espacio m´etrico en el que cada subconjunto infinito tiene un punto l´ımite.
Demuestre que X es separable.
Sea X un espacio m´etrico en el que cada subconjunto infinito tiene un punto l´ımite.
Demuestre que X es compacto.
De un ejemplo de un conjunto no conexo cuya cerradura sea conexa.
Si A es conexo ¿A¯ es conexo?
Si A es perfecto ¿A¯ es perfecto?
Si P es perfecto y K compacto ¿P ∩ K es necesariamente perfecto?, ¿es necesariamente compacto?
´ numeros
´
¿Existe un conjunto perfecto en R que consista de solo
racionales? ¿Existe
´
alguno que pueda no contener numeros
racionales?
(Teorema de Riesz) Sea V un espacio vectorial sobre K talque dimK V = n y h, i un
´
producto interior en V . Demostrar que si f : V → K lineal entonces existe un unico
¯ = hy,
¯ xi
¯ para todo y¯ ∈ V .
x¯ ∈ Y , talque f (y)
¿Cu´ales de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas? Argumenten sus respuestas.
¯
Int(E) = Int(E)
E¯ = Int(E)
∂E¯ = ∂E
∂E ◦ = ∂E
¯ ◦
E ◦ = (E)
E 0 = ∂E
(E c )c = E ◦




.

.

.

.

.

.

.

∂E = E¯ \ E ◦
∂E ∩ E ◦ = ∅
(E − F)◦ = E ◦ − F ◦
´ si G ∩ A¯ = G ∩ A para
Demuestren que si G ⊆ (X, d) entonces G es abierto si y solo
toda A ⊆ X.
Sea E ⊆ X denso. Probar que E ∩ F = F¯ para toda F ⊆ X abierto.
¿Es v´alida la igualdad anterior cuando F es cerrado?
¯ = Ω ∪ Ω0 = Ω ∪ ∂Ω
Sabemos que dado Ω ⊆ (X, d) definimos Ω
¯ es un conjunto cerrado para cualquier conjunto Ω.
Demostrar que Ω
¿Es cierto que ∂Ω ⊆ Ω0 o´ Ω0 ⊆ ∂Ω?.
¿Bajo que condiciones ∂Ω = Ω0 ?.
¯ = {x ∈ X : d(x, Ω) = 0} donde d(x, Ω) = ´ınf {d(x, z) : z ∈ Ω}.
Ω
Sea E ⊆ (X, d), definimos ρE : X → R+ como ρE (x) = d(x, E). Demuestren que ρE es
uniformemente continua.
´ si d(x, Ω) > 0.
x ∈ Ext(Ω) si y solo
(Conjuntos Densos)
Sea (X, d) un espacio m´etrico, Y , Z, U ⊆ X tales que Y es denso en Z y Z es denso
en U , demostrar que Y es denso en U .
¿Es cierto que si D es denso en X entonces D c es denso en X?.
Bajo que condiciones se vale el inciso anterior.
´ para toda U , ∅
Demuestren que A es denso en ninguna parte (d.n.p) si y solo
abierto, existe V ⊆ U abierto con V , ∅ talque V ∩ A , ∅.
Sea D abierto en X, demuestren que D¯ \ D es d.n.p.
Sea F cerrado en X. Demostrar que F \ F ◦ es d.n.p.
Si D y C son d.n.p entonces ¿D ∪C es d.n.p?. ¿Se necesita que ambos conuntos sean
d.n.p?
(Propiedades de la frontera de un conjunto) Dado (X, d) un espacio m´etrico
Demostrar que ∂A es cerrado, para A ⊆ X.
∂A = ∂Ac
∂(∂(∂A)) = ∂(∂A).
¿Es cierto que ∂A◦ = ∂A?
¿Que pasa con ∂A y ∂A?
∂A = A ∩ Ac
Sea (X, d) un espacio m´etrico, A, B ⊆ X talque ∂A ∩ ∂B = ∅
Demostrar que (A ∪ B)◦ = A◦ ∪ B◦ .
∂(A ∩ B) = (A ∩ ∂B) ∪ (∂A ∩ B).
´ si A es abierto y cerrado en X.
∂A = ∅ si y solo
Sea (X, d) un espacio m´etrico. Probar que para toda A, B ⊆ X
(A ∪ B)0 = A0 ∪ B0 .

(A \ A◦ )◦ = ∅.
Ext(A ∪ B) = Ext(A) ∩ Ext(B).
Ext(∅) = X.
Ext(X \ Ext(A)) = Ext(A).
[
[
´ puede ser propia.
Si {Eα } ⊆ X entonces
Eα ⊆
Eα . Mostrar que la contencion
α

Si

S



α∈I

α Eα es cerrado. Probar que

[
α

Eα =

[

Eα .

α∈I

. Sea d : M × M → R definida como sigue:



1, si x , y
d(x, y) = 

0, si x = y
Verifique que d es una m´etrica.
. Sea d : M × M → R una m´etrica. Definimos D : M × M → [0, 1] como sigue:
D(x, y) = m´ın {d(x, y), 1} .
Pruebe que D es una m´etrica y que para todo  > 0 existe δ > 0 talque
{y : D(x, y) < δ} ⊂ {y : d(x, y) < }
. Sea d : M × M → R una m´etrica, definimos D : M × M → [0, 1] como sigue:
D(x, y) =

d(x, y)
.
1 + d(x, y)

Pruebe que D es una m´etrica.
.
Sea d : M × M → R una m´etrica. Pruebe la desigualdad tetrah´edrica:
|d(x, y) − d(z, w)| ≤ d(x, z) + d(y, w)
para toda x, y, z, w ∈ M.
´ talque d(x, y) = d(y, x) > 0 para toda x , y ∈ M,
Sea d : M × M → R una funcion
talque d(x, x) = 0 para toda x ∈ M y que satisface la desigualdad tetrah´edrica.
Pruebe que d es una m´etrica.
. Sae (M, d) un espacio m´etrico. Para x ∈ M y A ⊂ M no vac´ıo defina:
d(x, A) = ´ınf {d(x, a) : a ∈ A}
Pruebe:
d(x, A) ≤ d(x, y) + d(y, A)
Para todo  > 0, U = {x ∈ M : d(x, A) < } es abierto.
. Sea A ⊂ Rp un conjunto no numerable. Pruebe que A0 es no numerable.
. (Teorema de Cantor-Bendixson) Decimos que un punto x ∈ Rp es un punto de con´ de A ⊂ Rp si Br (x) ∩ A es no numerable. Pruebe: Todo conjunto cerrado A
densacion



´ disjunta A = P ∪ N de un conjunto perfecto P y otro a
puede escribirse como la union
lo m´as numerable N .
.
Sea (X, d) un espacio m´etrico. A, K ⊆ X con K compacto. Pruebe que si K ∩ A = ∅
entonces d(K, A) = ´ınf {d(x, y) : y ∈ A, x ∈ K} es positivo.
Si K, F ⊆ X ajenos, no vac´ıos, K compacto y F cerrado entonces existe δ > 0 talque
d(x, y) > δ para toda x ∈ K, y ∈ F.
.
Sea A ⊂ Rp no vac´ıo y acotado, definan K = {x ∈ Rp : d(x, A) ≤ 1}. Demostrar que K
es compacto.
Si A ⊂ Rp acotado, entonces A, A0 y ∂A son todos compactos, mientras que A◦ lo es
´ si A , ∅.
si y solo